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2次関数のグラフはその形をイメージせよ!!

2次関数のグラフの描き方

2次関数のグラフってどうすれば描けるのだろうか?

そもそも2次関数って何?

答えはxの次数が二乗の関数が描くグラフのことを2次関数といいます。

よく分からないですよね?

そんな人には

2次=xが二乗

と覚えておきましょう。

当たり前?

いえいえ、その当たり前のことを当たり前にやることが大切なんです。

では、どうすれば2次関数のグラフが描けるのでしょうか?

一般的に2次関数は次の式で表されます。

y=ax2+bx+c

これをグラフで表すためには、以下の点に注意してください。

1.x軸とはどこで交わるか?

2.y軸とはどこで交わるか?

3.頂点は?

4..上に凸か下に凸か?

この点に注意して2次関数のグラフを描くようにしましょう。

では、まず1から見ていきましょう。

2次関数がx軸と交わるということは、グラフのyの値が0となるということです。

つまり、

ax2+bx+c=0

 x=

となります。

このxの値が2次関数がx軸と交わる点となります。

次に2ですが、これは2次関数がy軸と交わる、つまり、グラフのxの値が0となるということです。

つまり、

y=c

となります。

このyの値が2次関数がy軸と交わる点となります。

次に3ですが、傾きが0となる点なので、

y'=2ax+b=0

つまり、

x=-

 となります。

つまり、2次関数のグラフの頂点は、

(-,)

となります。

最後に4は2次関数のaが正であれば、下に凸、負であれば上に凸のグラフとなります。

では、実際に問題をやってみましょう。

 

練習問題

次の2次関数のグラフを求めよ。

y=x2+3x+2

解答

まずはこの2次関数を因数分解してみましょう。

y=(x+1)(x+2)

この2次関数のグラフがどうなるかイメージする上で、先と同じように考えてみましょう。

x軸と交わるのは

x=-1,-2

ですね。

次にy軸と交わるのは

y=2

ですね。

さらに、2次関数のグラフの頂点は、

y'=2x+3=0

x=-

yの値は、

y=-

つまり、2次関数の頂点の座標は

(-,-)

となります。

最後に、この2次関数のaに相当する値は正なので、下に凸のグラフになります。

 

まとめ

2次関数のグラフのイメージをすることが大切です。

一番簡単にグラフをイメージできるのは上に凸か下に凸かということです。

2次関数y=ax2+bx+cのaの正負で判断してください。

ちなみにこの2次関数のグラフは必ずy軸とは交わりますが、x軸とは交わらないことがあります。

もし、b2-4ac>0であれば、この2次関数はx軸と交わりますが、b2-4ac<0であれば、この2次関数はx軸とは交わりません。

これは、例えば、2次関数のaが正、つまり、2次関数のグラフが下に凸の場合、頂点のy座標が正であればx軸とは交わらないことを意味しています。

2次関数のaが正であれば、2次関数のグラフが下に凸であることから、2次関数の頂点のy座標より下にグラフが存在しないことを意味しています。

逆に2次関数のaが負、つまり、2次関数のグラフが上に凸の場合、頂点のy座標が負であればx軸とは交わらないことを意味しています。

2次関数のaが負であれば、2次関数のグラフが上に凸であることから、2次関数の頂点のy座標より上にグラフが存在しないことを意味しています。

これらの2次関数のグラフの特徴を把握し、このグラフを瞬時に頭の中でイメージできるようにしておいてください。

2次関数のaとcの値は簡易的にグラフを頭の中でイメージする際には重要な値となってくるので、この値だけみておおよそのグラフの形がイメージできるようになれば、グラフ自体描くのは簡単です。

 

 

 

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