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2次関数の頂点の求め方!2次関数の頂点求めてテッペン取ろうぜ!

2次関数の頂点の求め方

一般的な2次関数の式から実際に頂点を求めてみましょう。

まずはこれを平方完成して

とします。

この結果、2次関数の頂点は、

となります。

先ほど、aの正負で向きが変わると述べました。

つまり、aが正だと、下に凸、aが負だと上に凸になります。

さらに言えば、aが正だとその頂点のyの値は最小値、aが負だとその頂点のyの値は最大値となります。

つまり、aが正だと、この頂点のyより下のyの値はなく、aが負だとその頂点のyより下のyの値がないということになります。

2次関数とは何か?ということを頭に入れておけば、その頂点の特徴もよく分かるようになります。

 

2次関数とは?

2次関数とは何かということを考えてみましょう。

なぜ、2次というか?

それは、増加と減少が一回ずつあるからです。

一般的に関数はxとyという二つの変数で表します。

つまり、xの値が大きくなっていくにつれて、yの値が増加から減少、あるいは減少から増加に変わる点が一つある関数のことを2次関数といいます。

もし、yの値が増加しかしないもしくは減少しかしなければ、1次関数つまり直線となります。

その点が2つあれば3次関数、3つあれば4次関数となります。

つまり、1次関数には頂点がなく、2次関数には頂点が1つ、3次関数には頂点が2つ・・・というようになります。

一般的に2次関数は、

y=ax2+bx+c

という式で表します。

2次関数の頂点はaの符号によって向きが変わります。

aが正であれば、頂点は下向き、aが負であれば、頂点は上向きとなります。 

それでは2次関数の頂点を実際に求めてみましょう。

 

2次関数の練習問題

2次関数y=2x2+3x+4の頂点を求めよ。

 

2次関数の解答

まず、この式の右辺を次のように変形します。

 

この結果、頂点は

となります。

 

2次関数の補足

練習問題の2次関数の式をみてください。

この2次関数のaに当たる部分、つまり、2は正ですよね?

つまり、この2次関数は下に凸の式ということになります。

また、頂点のxの値から線対称となることも2次関数の特徴です。

これがどういうことか検証してみましょう。

この2次関数で、xが0の時、yが4になるのは分かりますか?

この2次関数の頂点のxの値、すなわち、ですが、これはy軸から頂点までの距離がであることを意味しています。

この2次関数が頂点のxの値で線対称になるのであれば、頂点からさらに進んだ2次関数のyの値が4になるはずです。

頂点からxがさらに進んだ2次関数のxの値はとなります。

そこで、この2次関数のxに-3を入れてみましょう。

となり、ちゃんとyの値は4となりましたね。

このことも2次関数の特徴となりますので、よく覚えておいてください。

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