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球の体積の公式とコツ! ただの公式暗記より「見積もり力」を養え!?

これを覚えよ! 球の体積の求め方

球の体積の公式

球の体積をV、円周率をπ、半径をrとすると、

となります。

これが、およそ立方体の体積の半分くらいと覚えておけば、間違いはないでしょう。

立方体の中に球を入れると、その体積はおよそ半分くらいになるので、一度やってみるといいかもしれません。

球を立方体の中に入れているイメージがすぐに出てくるようになると、数学の実力が格段にアップしますよ!!

体積なので、単位が必ず三乗になることを忘れずに!!

 

球の体積の公式の覚え方

身の上に心配あるので参上!

身の上に心配ある=3の上に4πr

参上=3乗

 

これで球の体積の公式は覚えられましたね。

 

球の体積とは?

球の体積を求める前にまず、立方体の体積をどうやって求めるか覚えてますか?

立方体の体積をV、一辺をaとすると、

V=a3

でしたよね?

もし、球の直径と同じ立方体があったとして、どちらの体積が大きいか分かりますか?

単純に考えて、球は丸いので球の方が体積が小さい(つまり角がある分だけ立方体の体積が大きい)ことは分かりますよね?

次に球の体積の公式から、検証してみましょう!!

 

球の体積の公式

球の体積をV、半径をr、円周率をπとすると、

V=πr3

となります。

 

球の体積と立方体の体積の比較

それでは球の体積と立方体の体積を比較してみましょう。

球の体積をV1、半径をr、円周率をπとすると、

V1πr3

立方体の体積をV2とし、球の体積と比較するために、一辺の長さを球の直径、つまり、2rとすると、

V2=(2r)3=8r3

となります。

この二つを比較すると、πと8の大きさを比較すればいいので、πは明らかに6より小さいので、球の体積の方が小さいことが分かります。

つまり、球の体積は同じ直径の立方体よりも小さいことが分かっていれば、およその体積の検討がつくということです。

つまり、立方体の体積は球の体積のおよそ2倍くらいということですね。

公式を覚えてしまえば、それまでなのですが、大体の大きさを検討する際の参考にしておいてください。

それでは、実際の問題を解いてみましょう。

 

練習問題

半径3cmの球の体積を求めよ。

 

解答

球の体積をV、円周率をπとすると、

V=×33×π=36π(cm3)

となります。

球の体積なので、単位は必ず三乗となります。

どんな図形でも体積の単位は三乗となるので、間違えないようにしてください。

ちなみに、この直径と同じ立方体の体積は

63=216(cm3)

となります。

πを3.14とすれば、球の体積は

36×3.14=113.04(cm3)

となり、やはり球の体積は立方体の半分くらいとなります。

 

球の体積の公式⇄球の表面積の公式

ちなみに、球の表面積の公式については下記「球の表面積の公式」より!

球の表面積を求める公式!球の表面積を知らなければ心配アール!?

 

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