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数学的帰納法のわかりやすい例題!コツを覚える|数学勉強法

数学的帰納法の証明とは、簡単に説明すると、

 

1:まず出発点となる命題を証明する 

2:直前の命題が正しければ、次の命題も正しいことを証明する

 

この2つを証明することで、全ての場合の命題が正しいことを証明するという手法です。

特に自然数についての証明や、数列を解く際の最終手段などに用いることができます。

 

少し回り道な手法ではあるのですが、上手く使えば確実に問題を解くことができます。

使いこなせることに損はないので、ぜひここでマスターしましょう。

 

例題を見てみましょう。

 

例題

が正の整数のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ.

 

 

これは皆さんも一度は見たことがあるシグマの公式ですね。

これを数学的機能法で解いてみます。

 

(Ⅰ)のとき

 

 

よって成り立つ。

 

(Ⅱ)で与式が成り立つと仮定すると

 

 

両辺にを加えると

 

 

よってでも成り立つ。 

 

 

以上(Ⅰ)(Ⅱ)より、全ての正の整数に対して等式は成り立つと言える。 終

 

 

このようにステップを踏んで証明することができました。

これだけだと大したことないと思うかもしれませんが、室はこれは画期的な解法です。

何故なら、一般式を強引に予想して、それを証明するという荒業ができるからです。

 

例えば、以下のような例題を考えます。

 

例題

 

で表される数列の一般項を求めよ。

 

もちろん数列をきちんと勉強していれば簡単に解ける問題ですが、

もしどうやって解くかが分からなくなってしまったとします。

そんなときに、強引な解法として数学的帰納法が使えるかもしれません。

 

を1から順番に式に当てはめていくと

 

 

ここから、一般式は以下のように表せると予想できる。

 

 

(Ⅰ)のとき

 

 

よって成り立つ。

 

(Ⅱ)で成り立つと仮定すると

 

 

よってでも成り立つ。

 

(Ⅰ)(Ⅱ)より、全ての正の整数に対して等式は成り立つと言える。 

 

以上より、

 

 終

 

 

この例題はちょっと極端なので、普通に漸化式を解いた方が簡単ですが、

もう少し厄介なものでも、もし一般式を予想することができれば同じ解法ができます。

 

この方法の特徴は、ゴールが見えているので解くのは簡単だということです。

(もちろん、予想が外れていたらアウトですが…)

 

最初から何でもこの方法で解くのはおススメできませんが、行き詰ったときの

最後の手段として持っておくと安心ですので、上手く使っていきましょう。

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