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対偶とは?証明問題で役に立つ対偶を説明!|数学勉強法

ひとえに数学と言っても、方程式、数列、図形…と沢山のジャンルがありますよね。

その中でも多くの人が苦手とするのが、証明問題ではないでしょうか。

 

証明問題は「論理的に正しく説明する力」が求められるので、普通の数学の問題よりも

一段上の論理的思考力が必要で、しかもそれを正確に表現する能力も必要になります。

かく言う私も計算とかは得意でしたが、こいつだけは勘弁してくれと思っていた時期がありました。

今回はそんな厄介な証明問題をやっつけるための武器となる「対偶」というものを学んでいきます。

 

まず初めに、そもそも対偶とは何なのか、ここから考えていきます。

教科書を読んでみると

 

  の対偶は 

 

なんて書いてあるかと思います。

そして、以下の式が成り立つとされています。

 

 

 

したがって、対偶が真であれば元の命題も真である…これで分かります?

恐らく、ちんぷんかんぷんな人も多いのではないでしょうか。

 

こうやって記号で難しそうに書くとよく分からないので…もう少し身近な例で対偶というものを表現してみましょう。

例えばを「野球ボール」、を「丸い」とすると

 

 「野球ボールである」ならば「丸い」の対偶は「丸くない」ならば「野球ボールではない」

 

ということになります。こう書くと分かりやすいですね。

そして、これらはどちらかが成り立てばもう一方も成り立つことが分かるでしょうか。

左から右は分かりやすですよね。野球ボールを調べると全て丸いのだから、丸くないものは野球ボールではあり得ないのです。

右から左はどうでしょう。右側の証明を考えると、世界中の「丸くない」ものを全て集めた中に野球ボールがなかったことになりますね。

そうすれば、必然的に野球ボールは丸いと言えることが想像できるかと思います。

 

ここでポイントとなるのは「全て」という部分です。

なぜなら、もし世界に一つでも四角い野球ボールが存在する場合、命題は偽ということになってしまうからです。

ここが数学の証明の厳密なところです。

 

さて、ではこの対偶という考えかたがどういうときに役に立つのか考えていきましょう。

まずは、先ほどと同じく身近な例です。

 

30人のクラスで、その中の20人がメガネをかけており、そのクラスには田中君が1人います。

このとき、以下の命題が真であることを示しなさい。

 

 命題:田中君はメガネをかけている。

 

あなたならどうやってこれを証明しますか?

恐らく、以下の2つの方法があるのではないでしょうか。

  1. クラスの中から田中君を探して、メガネをかけているかを確認する。
  2. メガネをかけていない人を集めて、その中に田中君がいないことを確認する。

普通に正面から考えれば1の方法ですが、実は2でも命題が真であることは言えるのです。

この例だとわざわざ2の方法のような回りくどいことをする意味が分からないかもしれませんが、

もしこれが30000人のクラスで、その中の29990人がメガネをかけているとしたらどうでしょう。

29990人の中から田中君を探してメガネをかけているのを調べるよりは、メガネをかけてない10人を集めて

田中君がいないことを確認した方が楽に思えますよね。つまり、命題の対偶をとって証明した方が楽なのです。

 

数学の証明でも同じようなことがあります。

有名なのは奇数と偶数が絡む証明問題ですね。

 

シンプルなものだと以下のような例がありますね。

 

整数に対して

 

 が奇数ならばも奇数であることを示せ。

 

まずは正面から解いて見ましょう。。

奇数はで表せるので

 

 

 

となり、奇数であることが示されます。

ただ、正直これって計算が面倒ですよね。

 

そこで、命題の対偶をとってみると

 

 が偶数ならばは偶数である

 

となります。

偶数は、と表せるので、

 

 

 

となり、命題の対偶が真であることが示せました。

いかがでしょうか。こっちの方が格段に計算が楽ではないでしょうか。

 

これぐらいならどっちでも対して変わらないなんて人は以下の例もやってみてください。

 

整数に対して

 

 が奇数ならばも奇数であることを示せ。

 

これは奇数だとなかなか辛い計算ですが、同じように対偶をとって偶数で計算すればとっても簡単になりますね。

 

このように、偶数と奇数が絡む証明問題の場合は偶数の方が計算が単純になる場合が多々あります。

 

また、偶数と奇数以外にも、対偶をとった方が数学的な表現が簡単になる場合があるので、

そういった場合には対偶を上手く利用して証明していきましょう。

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