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二項定理の要点は係数!基礎から徹底解説します|数学勉強法

数学Ⅱに入ってすぐに出てくる二項定理ですが、意味もわからずただ式を覚えている人は少なくないんじゃないでしょうか?


ここでは二項定理について説明していきましょう。

 

その前に組合せを表すCという記号がありますが、その説明からしていきます。分かる人は飛ばしてください。

 

ここに1から5がかかれた5個のボールがあります。ここから2個とるとき取り方は何通りあるでしょう?

 

書き出してみるとわかるとおもいますが10通りですね。 これをと書きます(実際は数字はCの左下、右下に小さめに書きます)。

 

一般的にいうと、n個のものからr個のものをとる方法は通りです。

 

では二項定理の説明に入りましょう。(a2 は、aの2乗を表します。)

 

まず一番簡単な2乗のときを考えてみると、

 

(a+b)(a+b)となりますね。

 

これは分配法則から aa+ab+ba+bb=a2 + 2ab + b2 となりますね。


ここで出てきた項を見てください。


aa ab ba bb は1つ目の(a+b)と2つ目の(a+b)からそれぞれ何かを選んでかけたもの と考えられませんか?

aa の場合 1つ目からa 2つ目から a を選んだ と考えられるということです。 この取り出し方は2つの(a+b)からaを2つ選ぶ ということなので =1 となります。 

一方、ab(ba) は1つ目からa(b)、2つ目からb(a)を選んだと考えられます。 この取り出し方は2つの(a+b)からa(b)を1つ選ぶということになるので =2 となります。

最終的にab ba はまとめることができるので 2abとなりますが、この係数は1行前ででた2に等しいですね。なぜかというとa、bの取り出し方の数は、出てくる項の数に等しいからです。

このようにしてa2 ab b2 の係数を求めて足せば最初に書いた式になります。


では5乗の場合を考えてみましょう。


(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)

 

ためしにa2b3の係数は何かを考えます。
5つの(a+b)からaを2つ選ぶ方法は最初の例で出したように=10通りです。

これをa5 a4b a3b2 a2b3 ab4 b5 で全て考えて足すとそれは2乗でもやったように5乗の展開式に他なりません。


つまり(a+b)5 = ×a5 + ×a4b + ×a2b3・・・ + ×b5 です。


これで少しは二項定理がわかったでしょうか? 


わからなかったら自分で何回か選んで足すということをやってみてください。次第に意味が分かってくるはずです。


また表記の仕方でわかりくいものをあると思うのでわかりくかったら自分で実際に書いてみるといいと思います。

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