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0の階乗が1な理由とは?定義に着目してみた|数学勉強法

n!(nの階乗)は「1からnまでの整数の積」であると定義されます。

 

たとえば、
3!=3×2×1=6
2!=2×1=2
1!=1


それでは、0!(0の階乗)はどうなるでしょうか。

 

0の階乗=0と答えたあなた、気持ちは分かりますが残念ながら答えは1なんです!



なぜ0!=1なのかというと、そう定義すると都合がいいからなのです。

0!=1は約束事(定義)であって、証明できるものではありません。


なので、0!=1と定義することにより、どう都合がいいかを説明します。

 

①階乗の再帰式

n≧1のとき、(n+1)!=(n+1)・n!が成り立ちます。

0!=1と定義することで、1!=1・0!となり、この式がn=0のときにも成り立ちます。

 

②コンビネーション

n個のものからr個選ぶ場合の数nCrは

1≦r≦n-1のとき

nCr=n!/r!(n-r)!を満たします。

0!=1と定義することで、nCn=n!/n!0!となり、この式がr=nのときにも成り立ちます。

 

そのほかにも、マクローリン展開やガンマ関数においても0!=1と置くと都合がいいですが、これらは高校数学の範囲を逸脱するので割愛させていただきます。

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